Informática - Escuela Técnica "Dr. Juan R. Vidal"

Asignatura: Laboratorio de Programación I

Curso: 4° Informática

Lógica de Proposicional

1) Seguimos trabajando con el material que ocupamos en el salón de clases, antes de la cuarentena, por eso te propongo que veas el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=gNdrxk5yTWU.

2) Toma nota sobre los conectores lógicos y las tablas de verdad. Recuerda el concepto de proposición.

3) Lee el material y mira el video sobre como se formalizan las proposiciones

Lógica proposicional

Estuadiaremos ahora con algo de detalle la Lógica proposicional, surgida a principios del siglo XX y que sentaría una de las bases de la construcción de ordenadores. Un mundo de unos y ceros.

Gerd Altmann Pixabay Dominio público

Lo que vamos a estudiar a continuación son algunas nociones de la lógica tal como se concibe en la actualidad. Vimos que razonamos llevando a cabo inferencias; aquí se nos ofrece un instrumento para determinar la validez de las mismas, estudiaremos la lógica como un sistema formal que opera sobre los procesos de razonamiento mediante el cálculo, aplicando precisas reglas de inferencia. Seguramente los procedimientos de la lógica te recordarán bastante a las matemáticas. Esto no es casual, la lógica simbólica surge como resultado de la matematización de la lógica tradicional. Veamos cómo fue el proceso.

La lógica es una disciplina filosófica que trata sobre la validez de los razonamientos; de acuerdo con su historia, la palabra lógica deriva del concepto griego λόγος, logos, que es traducido por pensamiento o razón. La lógica nace en el seno de la filosofía griega con el objetivo de ordenar las leyes del razonamiento; fue el filósofo Aristóteles (IV a.C.) su primer sistematizador, su tratado constituye un modelo de referencia hasta el siglo XIX en el que se matematiza gracias al uso de un lenguaje simbólico.

Podemos diferenciar dos etapas diferentes en la Historia de la lógica:

Al estudiar el conocimiento vimos que existen 2 formas de argumentar, razonar o inferir: la inducción y la deducción. Las primeras conducen a lo general desde casos particulares, la deducción permite derivar consecuencias necesarias desde enunciados universales cumpliendo dos condiciones: la verdad de las premisas y la validez o corrección de la deducción. Ya que hay dos clases de argumentos o razonamientos y la lógica se dedica al estudio formal de los mismos, podría hablarse entonces dos tipos de lógica: una lógica inductiva y otra deductiva. En todo caso, teniendo en cuenta que sólo las deducciones son argumentos estrictamente necesarios, es este argumento deductivo el principal objeto de estudio de la lógica formal. Estudiaremos "Lógica proposicional", una lógica que deduce a partir de proposiciones.

El lenguaje habitual empleado dentro de una comunidad que comparte el mismo idioma se denomina lenguaje natural. Es con éste con el que argumentamos y llevamos a cabo los desarrollos lógicos habituales. Sin embargo, a la hora de analizar un razonamiento partiendo de éste nos encontramos con serias dificultades; el lenguaje natural contiene numerosas lagunas y ambigüedades, esto impide la aplicación de un análisis lógico riguroso a partir del mismo. Necesitamos un lenguaje lógico que evite los inconvenientes del lenguaje natural.

Verdad de las proposiciones y validez de los razonamientos o inferencias

Sabemos que las proposiciones son o verdaderas o falsas a lo que añadimos ahora que las argumentaciones, razonamientos o inferencias serán correctas o válidas, pero no verdaderas o falsas. Debemos distinguir entre la verdad de las proposiciones y la validez o corrección de los argumentos. Veamos esto.

Formalización del lenguaje natural

Conocemos ya la notación simbólica empleada por la lógica proposicional. Nos encontramos ya en condiciones de convertir expresiones del lenguaje natural en otras formalizadas.

Dentro de la lógica formal, nos dedicamos a la lógica proposicional, tomando cada proposición (sujeto, predicado) como un todo. Simbolizaremos las proposiciones letras a las que denominaremos variables proposicionales. Una letra cualquiera podrá simbolizar cualquier proposición que le asignemos.
Para hacer las cosas más sencillas, anotaremos el significado de cada variable proposicional, y a continuación las enlazaremos mediante conectivas. Por ejemplo, el enunciado Juan dedica su tiempo libre a hacer deporte e ir al cine lo formalizaremos así: p Λ q, expresión en la que
p = Juan dedica su tiempo libre a hacer deporte y q = Juan dedica su tiempo libre a ir al cine.
Al argumentar en el lenguaje cotidiano no solemos ceñirnos extrictamente a los esquemas generales de razonamiento. Por ello, los razonamientos comunes requieren en ocasiones un esfuerzo de interpretación para determinar su estructura lógica. Debemos reconocer, más allá de la forma en que se expresan los enunciados en el lenguaje natural, la relación lógica que se establece entre unas proposiciones y otras. Para lograr este propósito, veamos algunas recomendaciones para cada conectiva:

Conjunción
A	Λ	B
1	1	1
1	0	0
0	0	1
0	0	0

La conjunción Λ suele expresarse con la expresión “y”, sin embargo, la podemos decir de modos muy distintos ya sea por estilo o por denotar matices psicológicos: (comas, pero, sin embargo…), En todo caso la conjunción la utilizamos para añadir enunciados, por ejemplo:

Vino, cogió el dinero, se largó = p Λ q Λ r
Dice que es vegetariana, pero le encanta el pescado = p Λ q
Aunque dice que le gusta leer, no tiene ningún libro en casa = p Λ q

Piensa que en ocasiones un solo verbo puede servir para expresar varios enunciados: "La miel y las verduras frescas son alimentos alcalinos" donde p = la miel es alcalina y q = las verduras frescas son alcalinas se formaliza: p Λ q

La conjunción afirma la verdad de sus componentes. Será verdadera cuando sus dos componentes lo sea y falsa en el caso de que lo sea al menos uno de ellos.

Si afirmo que vi a un personaje de la televisión y me dio su número de teléfono, esto sólo será cierto cuando lo sean las dos afirmaciones, y falsa en cualquier otro supuesto.

Podemos formalizar el lenguaje natural simbolizando su estructura lógica mediante los símbolos del lenguaje lógico.

Y ahora tú ... ¿te atreves?

Análisis lógico de los argumentos

Una vez formalizado un argumento es posible establecer, mediante tablas de verdad la validez de ese razonamiento; para ello deberemos descomponerla en sus elementos básicos e ir determinando los valores de verdad parciales hasta llegar al de la fórmula.

Una argumentación tiene la forma siguiente: Premisa(s) → conclusión. Así cuando argumentamos lo que hacemos es derivar una conclusión a partir de una suma de premisas. El esquema sería el siguiente:

1. premisa
2. premisa
3. …
____________
conclusión

Como podemos observar, todo razonamiento es en realidad una fórmula condicional en la que el antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente la conclusión: (Premisa Λ premisa Λ…) → Conclusión
Una vez formalizado el argumento y escrito según este formato, podemos calcular su validez lógica. Podemos decir que nos encontramos ante un esquema de razonamiento válido cuando el resultado es una tautología, o sea, cuando todos los valores de verdad finales son 1.
Por ejemplo, si quiero crear una tabla de verdad para la expresión [ (p → q) Λ q) ] → p, procederé...

1º Asignar valores a las variables proposicionales, p q, combinando sus valores 1 y 0

Tendremos que reflejar todas las combinaciones de verdad posible entre los enunciados singulares que tengamos; cada vez que aparezca una proposición nueva, las combinaciones se duplican:

p	p	q	p	q	r
1	1	1	1	1	1
o	0	0	1	1	0
	1	1	1	0	1
	0	0	1	0	0
			0	1	1
			0	1	0
			0	0	1
			0	0	0

2º Asignar valores a los conectores en orden de menor a mayor (fíjate en la fila de arriba, de color verde) aplicando sus valores de verdad. Recuerda, están en Conectores:

Negación	Conjunción	Disyunción	Condicional	Bicondicional

El negador ┐se aplica sobre los valores de una sola columna, invirtiendo el resultado.
En la conjunción Λ, la disyunción V y el bicondicional ↔ se aplica sobre dos columnas.

3º Analizar el valor del conector principal del argumento (de color azul)

1º	2º	3º	4º	5º
p	q	p → q	(p → q) Λ q)	[(p → q) Λ q)] → p
1	1	1	1	1
1	0	0	0	1
0	1	1	1	0
0	0	1	0	1

Como resultado final en una tabla de verdad caben tres posibilidades:

En todos los casos el valor de verdad es verdadero (1). Se trata de una tautología; una fórmula de razonamiento universalmente válida, independiente del valor de verdad de los enunciados que la componen.
Se combinan valores verdaderos (1) con falsos (0). Es una fórmula indeterminada o contingente, satisfactoria para determinados valores de verdad pero no para otros.
En todos los casos el valor de verdad resultante es falso (0). La fórmula es una contradicción; la expresión no es válida en ninguna circunstancia.

A la lógica únicamente le interesan laos razonamientos del primer tipo, es decir, aquellos que siempre sean válidos. Un caso como el del ejemplo en el que una de las cuatro posibilidades no es correcta (= 0) es suficiente para descartar esa "forma" de argumentar como inválida.

Vídeos explicativos acerca de cómo se realizan Tablas de verdad.

La deducción lógica

Siendo las tablas de verdad un instrumento adecuado para probar la validez de nuestros razonamientos, es cierto que se trata de un mecanismo que se vuelve muy laborioso cuando se aplica a un argumento extenso, especialmente si éste parte de más de dos variables proposicionales (recuerda que por cada una de ellas, las combinaciones de 1 y 0 se doblan; para p son dos, para p y q, cuatro, para p, q y r ocho, y así sucesivamente).

Un sistema más eficaz para la comprobación de la validez de los razonamientos de cierta extensión consiste en el empleo de las reglas de inferencia, es decir en el cálculo proposicional que nos permitirá no sólo averiguar si una expresión lógica es tautología, sino, además, calcular qué conclusiones podemos obtener a partir deun grupo determinado de proposiciones.

Así, si analizamos el siguiente razonamiento: "Siempre que llega a casa enciende la luz de la entrada, pero está apagada, por lo tanto no ha llegado".

Siendo los enunciados simples: p = llegar a casa y q = encender la luz

Los enunciados compuestos serían:

p → q = Siempre que llega enciende la luz
┐q = La luz no está encendida (o la luz está apagada)
┐p = No ha llegado a casa

Es decir, el razonamiento es: [(p → q) Λ ┐q] → ┐p y su sentido lógico es que si el antecedente es condición suficiente para que se produzca el consecuente y resulta que no se produce el consecuente entonces que no se ha producido el antecedente.

Si recuerdas, ya probamos la validez de esta "forma" de razonamiento mediante una tabla de verdad; aunque si este mismo argumento lo expresamos del siguiente modo:

1. p → q
2. ┐q
________
3. ┐p

Es posible determinar la validez del argumento de un modo diferente: a través de reglas de inferencia probamos que la conclusión ┐p, deriva, es decir, se deduce efectivamente de las premisas: (p → q) y ┐q.

Las reglas de la deducción o inferencia

Las reglas de inferencia determinan el modo en que es posible operar para pasar desde unas proposiciones a otras. Aplicando las reglas de inferencia, éstas nos permiten llegar desde las premisas hasta la conclusión cuando un razonamiento es válido.

La deducción o inferenecia de conclusiones apartir de premisas se realiza aplicando las reglas de inferencia o reglas de transformación a las premisas .Veamos una regla de inferencia y un ejemplo de cómo se aplica:

Introducción del Conjuntor - IC

A
B
_________
A Λ B

Reglas de la inferencia lógica

Las expresiones lógicas pueden transformarse en otras mediante las "Reglas de inferencia". Estas reglas deben ser tautológicas, es decir, correctas en todos los casos de combinación de los valores 1 y 0 de sus proposiciones. O sea que podremos utilizar como reglas de tranformación las tautología halladas mediante tablas de valores. Clasificamos las reglas en básicas y derivadas.

Las reglas básicas de inferencia nos deben bastar para la resolución de cualquier derivación, por complejo que sea. Éstas consisten en las reglas de introducción y de eliminación de las conectivas.

Las reglas de razonamiento obtenidas a partir de las reglas básicas se denominan reglas derivadas. Existen tantas reglas derivadas como fórmulas puedan establecerse a partir de las anteriores. Aquí destacaremos algunas de las más empleadas en los procesos de razonamiento lógico.